Gia su ton tai 3 so a,b,c thoa man dieu kien 

=> 4a(1-a)4b(1-b)4c(1-c)>1

Lai co 4a(1-a)=4a-4a²

                   =-(4a²-4a+1)+1

                    =-(2a-1)²+1\(\le1\)

tuong tu .....

=> 4a(1-a)4b(1-b)4c(1-c)\(\le\)1

Vay k ton tai 3 so a,b,c thoa man dk de bai

1: (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9

=(a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+9

=(a^2-7a)^2+18(a^2-7a)+81

=(a^2-7a+9)^2>=0

b: \(A=\dfrac{a^4-4a^3+a^2+4a^3-16a+4+16a-3}{a^2}=\dfrac{16a-3}{a^2}\)

a^2-4a+1=0

=>a=2+căn 3 hoặc a=2-căn 3

=>A=11-4căn 3 hoặc a=11+4căn 3

bất của bạn thiếu điều kiện a,b,c>0 

lần đầu lóng ngóng mấy sư huynh chỉ giáo :D 

việc tách ghép hoàn toàn dựa vào điểm rơi và tách ghép 1 cách hợp ní 

\(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\) \(=\dfrac{\Sigma_{cyc}3a}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

hoán vị theo a,b,c 

Ta được: \(1+2\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

Từ đây dễ chứng minh được bằng cách mũ 3 hai vế và ta được điều phải chứng minh:

\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

:\(x^4-4x+3=\left(x^4-x^3\right)+\left(x^3-x^2\right)+\left(x^2-x\right)-\left(3x-3\right)\)

                                  \(=x^3\left(x-1\right)+x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)\)

                                \(=\left(x^3+x^2+x-3\right)\left(x-1\right)\)

   \(=\left(x^2+2x+3\right)\left(x-1\right)^2\)(cái này bạn phân tích vế \(x^3+x^2+x-3=\left(x^2+2x+3\right)\left(x-1\right)\)là được

Ta có:\(\left(x-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng).Dấu"="<=>x=1⁽¹⁾

lại có \(x^2+2x+3=\left(x^2+2x+1\right)+2=\left(x+1\right)^2+2>0\)⁽²⁾

nhân vế (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)

 Dấu"="<=>x=1

Xong rồi đấy,bạn k cho mình nhé

Áp dụng BĐT Cô si ta có: x > 0 => x + \(\dfrac{4}{x}\) \(\ge\) 2 . \(\sqrt{\dfrac{4x}{x}}\)

<=> x + \(\dfrac{4}{x}\)  \(\ge\) 4

Ta có: \(x+\dfrac{4}{x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+4}{x}-\dfrac{4x}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\forall x>0\)(luôn đúng)

`x+4/x>=4`

`<=>x-4+4/x>=0`

`<=>(sqrtx)^2-2.sqrtx. 2/sqrtx+(2/sqrtx)^2>=0(x>0)`

`<=>(sqrtx-2/sqrtx)^2>=0`(luôn đúng)

`=>` đpcm

Dấu "=" `<=>x=2`

a, \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a;b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b, \(a^3-3a^2+4a+1=a\left(a^2-4a+4\right)+a^2+1=a\left(a-2\right)^2+a^2+1>0\left(\forall a>0\right)\)

c, \(a^4+b^2+2-4ab=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=-1\end{cases}}\)

thank you nhá

xét a=0=> BĐT luôn đúng

Xét a #o, ta có 

\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}=2a^2>0\left(vi:a\ne0\right)\) => \(\frac{1}{a^4+1}\le\frac{1}{2a^2}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)(ĐPCM)

Dấu = xảy ra <=> \(a=\pm1\)

^_^

xin 1 slot :)))) Xíu nx rảnh hứa sẽ làm nhưng chịu khó đợi

P/s hứa sẽ làm h thực hiện yêu cầu hơi muộn 

\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\left(a^4+1\right)\)\(\left(a^4+1\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2\le a^4+1\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)\ge0\)( Luôn đúng )

Ta đang phân tích cái vế\(\frac{1}{2}\left(a^4+1\right)\)nhé nên nó lớn hơn \(\frac{a^2}{a^4+1}\) :))))))

Vậy \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)Hoặc nếu cho thuận với cách ta chứng minh thì kết luận như vầy: \(\frac{1}{2}\ge\frac{a^2}{a^4+1}\)

Xong rồi nhé